Sistem Perkalian Vektor Dan Hasil Kali Skalar

Sekarang kita akan mempelajari perkalian vektor. Seperti diketahui, vektor tidak sama dengan bilangan biasa, sehingga perkalian yang berlaku pada bilangan biasa tidak sanggup diterapkan secara pribadi pada vektor. Di sini akan dibicarakan dua perkalian vektor. 

Pertama, hasil kali skalar atau perkalian titik (dot product) yaitu perkalian vektor yang jadinya skalar. Kedua, hasil kali vektor atau perkalian silang (cross product) yaitu perkalian vektor yang menghasilican vektor lain. 

A. Hasil Kali Skalar

Hasil kali skalar dari dua vektor A dan B dituliskan sebagai A•B. Karena penulisan ini, hasil kali skalar disebut juga perkalian titik (dot product). Untuk mendefinisikan hasil kali skalar A•B, dua vektor A dan B digambarkan dengan titik awal yang sama (Gambar 2.45(a)). 

Sudut antara kedua vektor ini ialah dengan 0° < (i) < 180°. Gambar 2.45(b) menunjukkan proyeksi vektor B pada arah A. Proyeksi ini ialah komponen B yang sejajar dengan A dan nilainya ialah B cos Perkalian skalar A•B didefinisikan sebagai besarnya A dikalikan dengan komponen B yang sejajar dengan 

A Secara matematis, Sebagai alternatif, A•B sanggup juga didefinisikan sebagai hasil kali besarnya B dengan komponen A pada arah B (Gambar 2.45(c)). Jadi, A•B = B (A cos (1)) = AB cos (1), yang tidak lain ialah persamaan (2-23). 

Hasil kali skalar ialah bemasukan skalar, dan mungkin bernilai positif, negatif, atau nol bergantung pada nilai Jika 0° < < 90° hasil kali skalar nilainya positif. Jika 90° < (/) < 180°, hasil kali skalar nilainya negatif. Jika = 90°, hasil kali skalar sama dengan nol. Jadi, hasil kali skalar antara dua vektor yang saling tegak lurus selalu sama dengan nol. 

Untuk dua vektor sembarang A dan B, AB cos tefr = BA cos Ini berarti A•B = B•A. Jadi, perkalian titik bersifat komutatif. Perkalian titik ini akan dijumpai pada pembahasan perjuangan dan energi untuk mengambarkan perjuangan yang dilakukan oleh gaya yang bekerja pada benda. Jika gaya F bekerja pada benda sehingga benda mengalami pergeseran s, maka perjuangan yang dilakukan gaya F adalah.

Usaha yang dilakukan gaya ini bernilai faktual jikalau sudut antara F dan s terletak antara 0° dan 90°, negatif jikalau sudutnya antara 90° dan 180°, dan nol jikalau F dan s saling tegak lurus. Berbeda dengan bahasa sehari-hari, kata usaha" dalam fisika memiliki arti khusus. 

Kata "usaha" dalam bahasa sehari-hari tidak mengenal harga faktual atau negatif. Perhatikan kalimat diberikut ini. Istiana berusaha menjadi juara kelas. Atau, koperasi Cinta-Makmur memiliki perjuangan simpan-pinjam. 

B. Hasil Kali Vektor

Hasil kali vektor dari dua vektor A dan B disebut juga hasil kali silang (cross product), dituliskan sebagai A x B. Kita akan memakai hasil kali silang ini untuk mengambarkan momen gaya, momentum sudut, gaya Lorentz, dan lain-lain. 

Seperti pada pembahasan hasil kali titik, untuk mendefinisikan hasil kali vektor A x B, kita gambarkan dua vektor A dan B dengan titik awal yang sama atau diberimpit (Gambar 2.47(a)). Tampak bahwa dua vektor ini terletak pada bidang datar. Hasil kali vektor A x B menghasilkan vektor gres yang arahnya tegak lurus pada A dan B dan besarnya sama dengan AB sin melaluiataubersamaini demikian, jikalau C = A x B, maka.

Jadi, C pada persamaan (2-24) selalu positif, lantaran 0° < 0 < 180°. Jika A dan B sejajar atau antisejajar, yaitu 0 = 0° atau (/) = 180°, maka C = 0. Oleh lantaran itu, hasil kali silang dari dua vektor yang sejajar atau antisejajar selalu sama dengan nol. Demikian pula jikalau suatu vektor dikalikan silang dengan dirinya sendiri, contohnya A x A, jadinya juga nol. 

Dari bidang datar yang dibuat oleh A dan B, ada dua vektor yang tegak lurus bidang ini (Gambar 2.47). Pilihan arah A x B sanggup ditentukan melalui hukum tangan kanan. Diandaikan A diputar menuju B melalui sudut terkecil Bayangkan bulat jari-jari tangan kanan Anda mengelilingi garis yang tegak lurus bidang yang dibuat oleh vektor A dan B, sehingga ujung jari-jari tangan Anda menunjukkan arah rotasi dari A ke B. 

melaluiataubersamaini posisi demikian, ibu jari menunjukkan arah A x B (Gambar 2.47(a)). Aturan tangan kanan ini sesuai dengan sekrup putar kanan. Jika sekrup diputar dari A ke B, maka arah majunya sekrup ini ialah arah A x B. melaluiataubersamaini cara yang sama, arah B x A sanggup ditentukan dengan rotasi dari B ke A. Hasilnya akan berlawanan dengan A x B (Gambar 2.47(b)). Oleh lantaran itu, hasil kali vektor tidak bersifat komutatif: 

Seperti pada pembahasan hasil kali skalar, kita sanggup mempersembahkan interpretasi geometris besarnya hasil kali vektor. Pada Gambar 2.48(a), B sin 0 ialah komponen vektor B yang tegak lurus terhadap arah vektor A. Dari persamaan (2-25), besarnyaA x B sama dengan besarnyaA dikalikan dengan komponen B yang tegak lurus A. Gambar 2.48(b) menunjukkan bahwa besarnya A x B juga sama dengan besarnya B dikalikan dengan komponen A yang tegak lurus B. 

C. Vektor Satuan

Vektor satuan ialah vektor yang memiliki besar satu dan tidak memiliki satuan. Vektor satuan ini dimaksudkan untuk mengambarkan arah suatu vektor. Untuk membedakan dengan vektor biasa, vektor satuan biasanya dituliskan dengan abjad kecil dan dicetak tebal. 

Dalam sistem koordinat x-y, kita mendefinisikan vektor satuan iyang searah dengan sumbu-x faktual dan vektor satuan j yang searah dengan sumbu-y positif. melaluiataubersamaini demikian, komponen-komponen vektor A sanggup dituliskan sebagai Jadi, vektor A sanggup dituliskan sebagai.

Perhatikan bahwa persamaan (2-26) dan (2-27) merupalcan persamaan vektor, masing-masing suku, contohnya Axi, menunjukkan bemasukan vektor (Gambar 2.50). Jika dua vektor A dan B ditetapkan dalam komponen-komponennya, kita sanggup memilih jumlah vektor dengan gampang. A = Axi + Ayj, B = Bxi + j, R = A + B = (Axi + A.) + (B xi + B = (Ax + B + (Ay + Byij = Rxi + Ryj 

2  Besarnya R ialah R= 2   Bandingican   dengan   persamaan   (2-17)). Jika suatu vektor tidak terletak pada bidang kita memerlukan wmponen vektor ketiga. Komponen ketiga ini memiliki vektor satuan vang searah dengan sumbu-z positif. 

melaluiataubersamaini demikian, persamaan 2-28) sanggup dikembangkan menjadi vektor 3 dimensi, yaitu: A = Ai+A)+A k, = Bxxi + B + Bzzk, It = A + B = (A + A yj + A zk) + (B xi + + B k) = (Ax+ Bx)i + (A + By) j + (Az+ Bz)k = Ri + Rij + Rk. (2-29) at ditunjukkan bahwa besarnya R adala.

Daftar Pustaka: Yudhistira

Bagikan Artikel ini